Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Lớp 10 Nâng Cao

  -  
Bài 3 Hệ thức lượng trong tam giác. Giải bài 31, 32, 33, 34 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao. Giải bài tập trang 66 Bài 3 Hệ thức lượng trong tam giác SGK Hình học 10 nâng cao. Câu 31: Chứng minh rằng.

Bạn đang xem: Hệ thức lượng trong tam giác lớp 10 nâng cao


Bài 31: Gọi \(S\) là diện tích và \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng \(S = 2{R^2}\sin A\sin B\sin C\).

Áp dụng công thức tính diện tích và định lí sin trong tam giác \(ABC\) .Ta có

\(\eqalign{& S = {{abc} \over {4R}} = {{(2R\sin A).(2R\sin B).(2R\sin C)} \over {4R}} \cr& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2{R^2}\sin A\sin B\sin C \cr} \)

Bài 32:  Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác bằng nửa tích hai đường chéo và sin của góc hợp bởi hai đường chéo đó.

Xem thêm: Khi Nào Thì Bị Can Là Gì ? Phân Biệt Giữa Bị Can Và Bị Cáo Phân Biệt Bị Can Và Bị Cáo

 

Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC, BD\) và \(\widehat {AIB} = \alpha \).

Ta có \({S_{ABI}} = {1 \over 2}AI.BI.\sin \alpha \,\,,\,\,\,{S_{ADI}} = {1 \over 2}AI.DI.\sin ({180^0} – \alpha ) = \,{1 \over 2}AI.DI.\sin \alpha \,\)

Suy ra \({S_{ABD}} = {S_{ABI}} + {S_{ADI}} = {1 \over 2}AI.(BI + DI).\sin \alpha = {1 \over 2}AI.BD.\sin \alpha \)

Tương tự ta suy ra \({S_{BCD}} = {S_{BIC}} + {S_{CDI}} = {1 \over 2}CI.BD.\sin \alpha \)

Từ đó suy ra

\({S_{ABCD}} = {S_{ABD}} + {S_{BCD}} = {1 \over 2}.BD.(AI + CI).\sin \alpha = {1 \over 2}.BD.AC.\sin \alpha. \)

Bài 33: Giải tam giác \(ABC\), biết


a) \(c = 14,\,\widehat A = {60^0},\,\widehat B = {40^0}\);

b) \(b = 4,5,\,\widehat A = {30^0},\,\widehat C = {75^0}\);

c) \(c = 35,\,\widehat A = {40^0},\,\widehat C = {120^0}\);

d) \(a = 137,5;\;\widehat B = {83^0},\,\widehat C = {57^0}\).

Xem thêm: Amazing, Good Job Là Gì ? Cách Sử Dụng Chúng Trong Cuộc Sống Hằng Ngày

a) Ta có \(\widehat C = {180^0} – {60^0} – {40^0} = {80^0}\)

Áp dụng định lí sin :

\(\eqalign{& \,\,\,\,\,\,{a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}} = {{14} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in8}}{{\rm{0}}^0}}}\,\,\,\, \Rightarrow \,\,a = {{14} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in8}}{{\rm{0}}^0}}}.\sin {60^0} \approx 12,3 \cr& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b = {{14} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in8}}{{\rm{0}}^0}}}.\sin {40^0} \approx 9,1 \cr} \)

b) Ta có \(\widehat B = {180^0} – {30^0} – {75^0} = {75^0}\)


Áp dụng định lí sin

\(\eqalign{& \,\,\,\,\,\,{a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}} = {{4,5} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in7}}{{\rm{5}}^0}}}\,\,\, \Rightarrow \,\,a = {{4,5} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in7}}{{\rm{5}}^0}}}.\sin {30^0} \approx 2,3 \cr& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c = {{4,5} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in7}}{{\rm{5}}^0}}}.\sin {75^0} = 4,5 \cr} \)

c) Ta có \(\widehat B = {180^0} – {120^0} – {40^0} = {20^0}\)

Áp dụng định lí sin :

\(\eqalign{& \,\,\,\,\,\,{a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}} = {{35} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in12}}{{\rm{0}}^0}}}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,a = {{35} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in12}}{{\rm{0}}^0}}}.\sin {40^0} \approx 26 \cr& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b = {{35} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in12}}{{\rm{0}}^0}}}.\sin {20^0} \approx 13,8 \cr} \)

d) Ta có \(\widehat A = {180^0} – {83^0} – {57^0} = {40^0}\)

Áp dụng định lí sin :

\(\eqalign{& \,\,\,\,\,\,{a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}} = {{137,5} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in4}}{{\rm{0}}^0}}}\,\,\,\, \Rightarrow \,\,b = {{137,5} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in4}}{{\rm{0}}^0}}}.\sin {83^0} \approx 212,3 \cr& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c = {{137,5} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in4}}{{\rm{0}}^0}}}.\sin {57^0} \approx 179,4 \cr} \)

Bài 34: Giải tam giác \(ABC\), biết

a) \(a = 6,3,\,\,b = 6,3,\,\,\widehat C = {54^0}\);

b) \(b = 32,\,c = 45,\,\widehat A = {87^0}\);

c) \(a = 7,\,\,b = 23,\,\,\widehat C = {130^0}\).

*

a) \(ABC\) là tam giác cân tại \(C\) \( \Rightarrow \,\,\widehat A = \widehat B = {{{{180}^0} – {{54}^0}} \over 2} = {63^0}\). Áp dụng định lí sin ta có

 \(\,\,\,\,\,\,{a \over {\sin A}} = {c \over {\sin C}} = {{6,3} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in6}}{{\rm{3}}^0}}}\,\, \Rightarrow \,\,c = {{6,3} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in6}}{{\rm{3}}^0}}}.\sin {54^0} \approx 5,7\)

b) Áp dụng định lí cosin ta có

\(\eqalign{& {a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc.\cos A \cr& \,\,\,\,\,\, = {32^2} + {45^2} – 2.32.45.\cos {87^0} \approx 2898,27 \cr& \Rightarrow a \approx 53,8 \cr} \)

Áp dụng định lí sin ta có

\(\eqalign{& \,\,\,\,\,\,{a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}}\,\, \Rightarrow \,\,\sin B = {{b\sin A} \over a} = {{32.\sin {{87}^0}} \over {53,8}} \approx 0,6 \cr& \Rightarrow \,\,\widehat B \approx {36^0}\,,\,\,\widehat C \approx {57^0} \cr} \)

c) Áp dụng định lí cosin ta có

\(\eqalign{& {c^2} = {a^2} + {b^2} – 2ab.\cos C \cr& \,\,\,\,\,\, = {7^2} + {23^2} – 2.7.23.\cos {130^0} \approx 785 \cr& \Rightarrow c \approx 28 \cr& \cos A = {{{b^2} + {c^2} – {a^2}} \over {2bc}} = {{{{23}^2} + {{28}^2} – {7^2}} \over {2.23.28}} \approx 0,98 \cr& \Rightarrow \,\,\widehat A = {11^0}\,,\,\,\widehat B = {39^0} \cr} \)